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    高中數學不等式證明專題講解

    2021-10-291 9.99元 8頁 162.56 KB
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    高中數學不等式證明專題講解例1若,證明(且).分析1用作差法來證明.需分為和兩種情況,去掉絕對值符號,然后比較法證明.解法1(1)當時,因為,所以.(2)當時,因為所以.綜合(1)(2)知.分析2直接作差,然后用對數的性質來去絕對值符號.解法2作差比較法.因為,所以.例2設,求證:證明:∵,∴∴.∴又∵,∴. 例3對于任意實數、,求證(當且僅當時取等號)證明:∵(當且僅當時取等號)兩邊同加,即:(1)又:∵(當且僅當時取等號)兩邊同加∴∴(2)由(1)和(2)可得(當且僅當時取等號).例4已知、、,,求證證明:∵∴∵,同理:,?!嗬狄阎?,求證:>0.證明一:(分析法書寫過程)為了證明>0只需要證明>∵∴ ∴>0∴>成立∴>0成立證明二:(綜合法書寫過程)∵∴∴>>0∴>成立∴>0成立例6若,且,求證:證明:為要證只需證,即證,也就是,即證,即證,∵,∴,故即有,又由可得成立,∴所求不等式成立.例7若,求證.證法一:假設,則,而,故.∴.從而,∴.∴.∴.這與假設矛盾,故.證法二:假設,則,故,即,即,這不可能.從而. 證法三:假設,則.由,得,故.又,∴.∴,即.這不可能,故.例8設、為正數,求證.分析:用綜合法證明比較困難,可試用分析法.證明:要證,只需證,即證,化簡得,.∵,∴.∴.∴原不等式成立.例9已知,求證.證明:從條件看,可用三角代換,但需要引入半徑參數.∵,∴可設,,其中.∴.由,故.而,,故.例10設是正整數,求證.分析:要求一個項分式的范圍,它的和又求不出來,可以采用“化整為零”的方法,觀察每一項的范圍,再求整體的范圍.證明:由,得. 當時,;當時,……當時,.∴.例11已知,求證:.證明:欲證,只須證.即要證,即要證.即要證,即要證.即要證,即.即要證  ?。?)∵,∴(*)顯然成立,故例12如果,,,求證:.證明:∵    ?。? ∴.例13已知,,,求證:在三數中,不可能都大于.證明:假設三數都大于,即,,.又∵,,,∴,,.∴  ?、儆帧?,,.以上三式相加,即得: ?、陲@然①與②相矛盾,假設不成立,故命題獲證.例14已知、、都是正數,求證:.證法一:要證,只需證,即,移項,得.由、、為正數,得.∴原不等式成立.證法二:∵、、為正數,.即,故., .說明:題中給出的,,,,只因為、、都是正數,形式同算術平均數與幾何平均數定理一樣,不加分析就用算術平均數與幾何平均數定理來求證,問題就不好解決了.例15已知,,且.求證:.證明:令,,且,則∵,∴,即成立.例16已知是不等于1的正數,是正整數,求證.證明:∵是不等于1的正數,∴,∴.①又.②將式①,②兩邊分別相乘得,∴.例17已知,,,,且,求證.證明:要證,只需證,只需證.∵,,,∴,,,∴,∴成立.∴. 例18求證.證明:∵,∴.例19在中,角、、的對邊分別為,,,若,求證.分析:因為涉及到三角形的邊角關系,故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉化.證明:∵,∴.由余弦定理得∴,∴=
    高中數學不等式證明專題講解
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